Fibonacci Sayıları

Fibonacci Sayı Dizisi ve Altın Oran

 

Leonardo Fibonacci, (Pisalı Leonardo, Leonardo Pisano d. 1170, ö. 1250), yaygın olarak ismiyle Fibonacci diye anılan, orta çağın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi.

Fibonacci modern çağda en fazla Hint-Arap Sayılarını Avrupa'ya getirmesiyle ve 13. yüzyıl başlarında yayınlanan Liber Abaci isimli hesaplama yöntemleri kitabıyla tanınır. Liber Abaci'de bir örnek olarak yer alan modern sayılarla hesaplanmış kendi adıyla anılan sayı dizisi Fibonacci Dizisi olarak anılmaktadır. Sadece Fibonacci dizisi ve özellikleri ile ilgili kitaplar hatta haftalık düzenli yayınlanan matematik dergileri bile bulunmaktadır.

 Araştırmamızı derinleştirdiğimiz zaman gördük ki, Fibonacci sayıları ve bu sayılarla yakından ilişkili olan Altın Oran’ın ilgi çeken ve gizemli denilebilecek daha birçok yönü bulunuyor. Bu nedenle Altın Oran hakkında sizler için daha geniş kapsamlı bir yazı hazırlamayı uygun buldum.

Altın Oran

Fibonacci sayı dizisinin Leoardo Fibonacci tarafından bir
problemin çözümünde bulunduğunu ve bu sayıların 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55, 89, 144,... şeklinde (ilk iki sayı hariç) kendinden önce gelen iki sayının
toplamı şeklinde ilerlediği görülmektedir. Leonardo Fibonacci’nin tavşanların
üremesi üzerinde incelediği bu sayı dizisi diğer başka hayvan türlerinde de
uygulanabilmektedir Aşağıda verilen örnek bal arılarının çoğalmasıyla
ilgilidir.

• Her erkek arı sadece bir dişiden meydana gelmekte, yani tek
ailesi bulunmaktadır.
• Her dişi arı ise bir anne ve bir babadan meydana
gelmekte ve iki ailesi bulunmaktadır.

Bu durumda arıların üreme şemasını
çıkaracak olursak yandaki biçim ortaya çıkacaktır:




 


Aile


Büyük
Aile


B.B.
Aile


B.B.B.
Aile


B.B.B.B.
Aile


Erkek
Arı


1


2


3


5


8


Dişi
Arı


2


3


5


8


13


Şemada da görüldüğü gibi oluşan
sayılar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987..
dizisini, yani Fibonacci sayılarını oluşturmaktadır.

Eğer bu sayı
dizisindeki terimleri kendilerinden sonra gelen sayıya bölerek ilerlersek (F1 /
F2 = 2, F2 / F3 = 1/2... gibi);


1,000000
0,500000
0,666666
0,600000
0,625000
0,615385
0,619048
0,617647
0,618182
0,617978
0,618056
0,618026
0,618037
0,618033
0,618034
0,618034...

Bu
yöntemle ilerleyecek ve bu işlemi sonsuza devam ettirecek olursak 0,618033989
sayısına giderek yaklaşacaktır.

Diğer taraftan, F2/ F1 = 2, F3/F2 = 1,5
olarak devam edersek, yani dizilim içinde bir sayıyı kendisinden önce gelen
sayıya bölerek ilerlersek ulaşacağımız sonuç: 1,618 rakamına sürekli yaklaşacak
şekilde oluşacaktır (bkz. Şekil 1).

Altın Oran olarak tanımlanan
1,618034 rakamı Altın Bölüm, Altın Sayı gibi ifadelerle tanımlanır. Greek
alfabesindeki Phi Ø ile gösterilir.

Peki nedir bu Altın Oran’ın özelliği ? İsterseniz küçük bir örnekle
eşit büyüklükte iki kareyi yan yana getirelim, sonra bu iki kareye bitişik
olacak şekilde büyük tek bir kare, çizmiş olduğumuz üç kareye bitişik bir kare
daha... Bu şekilde kareleri kendilerinden önce komşu oldukları kare sayıları ile
numaralandırırsak Fibonacci sayı dizisine ulaştığımız görülecektir ve işte
Fibonacci diktörtgeni karşımızda ve bu dikdörtgenin kenarlarının birbirine oranı
da Altın Oran’ı vermektedir (bkz. Şekil 2).

Şimdi bu karelerimizi çeyrek
daireler oluşturacak şekilde köşelerinden birleştirelim. Oluşan şekil aşağıdaki
gibi olacaktır. Bu spiralin bir özelliği de doğada görülen bir eğime sahip
olmasıdır.

Birçok matematikçi ve bilim
insanının yıllar boyu ilgisini çeken ve araştırmalara konu olan bu rakama “altın
oran”, “kutsal oran”, “mükemmel oran” gibi isimler atfedilmektedir. Bunun nedeni
bu orana göre yapılan ve yaratılan resimlerin, mimari eserlerin, bir
dikdörtgenin veya doğada bulunan bir çiçeğin yapraklarının insanın
algılayabildiği en güzel göz nizamı olmasındandır.

Altın Oran ile doğada
hemen hemen her yerde karşılaşmaktayız; bitki yapraklarında- tohumlarında, çiçek
yapraklarında, çam kozalaklarında, deniz kabuklarında, en yakın örneği ise insan
vücudunda. İnsan boyuna x, göbek deliğinden ayak uçlarına kadar olan bölüme de y
dersek; göbekten başa kadar olan uzunluk “x-y” olacaktır. Bu durumda ideal yani
altın orana göre olan insan vücudunun denklemi:
x / y = y / (x – y )
olacaktır (1).

Bu formül insanın diğer uzuvları için de geçerlidir.
Örneğin parmak boğumları, kol oranı, yüz hatlarının oranı gibi.

Sanatta ve mimaride ise Altın Oranı veren birçok eser bulabilmekteyiz.
Eski Yunan Mimarisinden Leonardo Da Vinci, Raphael, Rubens, Boticelli gibi ünlü
ressamlar da resimlerinde Altın Oran’ı kullananların başında
gelmektedir.

Leonardo Da Vinci’ ye ait olan “The Annonciation” adlı
yukarıdaki tablonun da gelişi güzel değil, belli bir oran dahilinde yapıldığı
görülmektedir. Leonardo ve çağdaşlarının o dönem sadece resim ve mimari ile
uğraşmadığı, çok yönlü, yani matematik, fizik gibi dallarla da yakından ilgili
olduğu düşünüldüğünde bunu tablolarına yansıtmaları mantıklı durmaktadır.


Tabloyu belli noktalarından dikey ve yatay olmak üzere iki çizgiyle
kesersek kenarlarda oluşacak oran 1/1.618 dir. Günümüzde ve geçmişte resim yapma
tekniğinde altın üçgen, dikdörtgen ve çokgenler sıkça kullanılmıştır
(2).

Bunun dışında Fibonacci sayı dizisinin ve altın oranın; şiir, müzik
notaları, ekonomi gibi değişik ve birçok kullanım alanı bulunmaktadır. Aşağıdaki
örnek bunlardan biri olan mimari alanındandır. Altın Oran’a özellikle eski Yunan
mimarisinde sıkça rastlamaktayız.

Grafik çiziminde
belirtilen noktalar arasında kalan parçaların birbirlerine olan oranı Altın
Oran’a uymaktadır.(bkz Şekil 3, 4).

Mısır’daki piramitlerde de bu orana
rastlanmaktadır. Piramitler hem kendi içlerinde bu kurala uymakta hem de
birbirleri arasında bu orana uyan spiral içinde belli noktalarda
konuşlandırıldıkları görülmektedir (bkz. Şekil 3, 4). Günümüzde ise bu orana
uyan ünlü yapılar arasında Birleşmiş Milletler binası bulunmaktadır.

Ayrıca Altın Oran birtakım firmalarca ürün dizaynı
aşamasında da kullanılmaktadır. Bunlar sigara paketleri, kredi kartları, bazı
ambalajlar ve benzerleridir (1).

Fibonacci sayı dizisinin ve Altın
Oran’ın görüldüğü ve kullanıldığı yerlerin tamamını sizlere aktarmamız için
oldukça kalın bir kitap çıkarmamız gerekebilir. Bu bakımdan konuyu genel
itibariyle net olarak açıklayabilecek düzeyde örneklediğimizi düşünüyor ve son
bir kullanım alanı olarak borsadan örnek vermek istiyorum.

Fibonacci sayılarının bu alanda kullanımı alanı 4 grupta
incelenebilir: Yay (arc), fan, geri alma çizgileri ve zaman bölgeleri. Fibonacci
çalışması olarak yorumlanan bu çalışmaların yorumlanması hisse senetlerinin bu
çizgilere yaklaştığında eğilim değişikliğinde bulunacağı
doğrultusundadır.

Konunun daha da açıklayıcı olması açısından zaman
bölgeleri çalışmasına bir örnek vermek istiyorum:

Burada önemli olan
rakamların 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... şeklinde Fibonacci sayı dizisinden
oluşarak bir dik çizgi serisi oluşturmasıdır. Bunun anlamı ise aşağıdaki
grafikte görüldüğü gibi trendin bu noktalara geldiğinde, belirgin değişimler
göstermesidir.

Yandaki örnekte, Dow
Jones Industrial endeksi üzerine çizilen,
Fibonacci zaman aralıklarını görebilirsiniz. Görüldüğü gibi belirlenen zaman
çizgilerine yakın yerlerde belirgin değişimler gözlenmektedir (bkz. Şekil 7)
(3).

Görüldüğü gibi Fibonacci sayı
dizisinin ve Altın Oran’ın kullanıldığı ve doğada görüldüğü alanlar saymakla
bitmiyor. İşte tam da bu yüzden, bugüne kadar bu konuda araştırma ve inceleme
yapmış bilim insanları ona Tanrı’nın dünyayı yaratırken kullandığı oranı
kastetmek amacıyla Kutsal Oran, İlahi Oran benzetmesini
yapmışlardır.

Kaynaklar:

(1) Knott, R., kişisel web sitesi
(1996). http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ [10 Ekim 2004,
WEB].
(2) Çağlarca, S. (1997). Altın oran. İstanbul: İnkilap Kitabevi.
(3)
Borsa Analiz (1999). http://www.borsanaliz.com/ndarsiv.html [10 Ekim 2004,
WEB]



Bu yazı PiVOLKA'nın basılı
sürümüyle aynıdır. Kaynak göstermek için:

Kıvanç, F. E. (2005). Fibonacci sayı dizisi ve altın

oran. PiVOLKA, 4(16), 14-16.